Вариант 1

В таблице приведены сведения о заработной плате служащих одной фирмы

 

 

1.              Построить по этим данным гистограмму.

2.              Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

3.              Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.

4.              Используя критерий  - Пирсона по данным таблицы при уровне значимости  =0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

5.              Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (X) получены статистические данные по 52 предприятиям за год

 

	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5	47,5	52,5
200-210	1
210-220		2
220-230		1	2
230-+240			3	3	1
240-250				8	9
250-260				1	7	5
260-270						2
270-280						1	3
280-290								2
290-300									1

 

а) Вычислить групповые средние  и , построить корреляционные поля;

б) предполагая, что между х и у существует линейная корреляционная зависимость

·         найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на корреляционных полях;

·         вычислить коэффициенты корреляции и детерминации, сделать выводы о тесноте и направлении связи;

·         вычислить среднюю абсолютную процентную ошибку; для коэффициента корреляции генеральной совокупности; определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности = 0,05.

 

Решение:

1. Построим гистограмму распределения

 

 

2. Построим функцию распределения, заменив интервалы их средними значениями:

 

 

Построим график функции распределения

 

 

3. Найдем показатели распределения. Для этого заменим интервалы их центрами. При этом величины первого и последнего открытых интервалов примем равными величинам второго и предпоследнего интервалов соответственно (для обоих интервалов 200). Промежуточные расчеты выполним в таблице:

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем:

а) выборочное среднее:

 руб.

б) дисперсию

в) среднее квадратичное отклонение

г) коэффициент вариации

д) размах вариации

R=x_max-x_min=2500-500=2000 руб.

 

Для вычисления начальных моментов воспользуемся формулой:

 

 

Промежуточные расчеты выполним в таблице:

 

 

Тогда

=156000/100=1560

=2,6×10⁸/100=2,6×10⁶

=4,69×10¹¹/100=4,69×10⁹

 

Для вычисления центральных моментов воспользуемся формулой:

 

 

Т.к. нужно вычислить эксцесс, то центральные моменты рассчитаем до 4-го порядка включительно. Промежуточные расчеты выполним в таблице:

 

xi	ni
500	1	-1060	1123600	-1,2E+09	1,262E+12
700	3	-2580	2218800	-1,9E+09	1,641E+12
900	6	-3960	2613600	-1,7E+09	1,138E+12
1100	11	-5060	2327600	-1,1E+09	4,925E+11
1300	15	-3900	1014000	-2,6E+08	6,855E+10
1500	20	-1200	72000	-4320000	259200000
1700	14	1960	274400	38416000	5,378E+09
1900	12	4080	1387200	4,72E+08	1,604E+11
2100	10	5400	2916000	1,57E+09	8,503E+11
2300	6	4440	3285600	2,43E+09	1,799E+12
2500	2	1880	1767200	1,66E+09	1,561E+12
Итого	100	0	1,9E+07	14400000	8,98E+12

 

Тогда

=0

=1,9×10⁷/100=190000

=14400000/100=144000

=8,98×10¹⁰/100=8,98×10¹⁰

 

Рассчитаем коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам:

,

 

Стандартные ошибки асимметрии и эксцесса составят

 

4. Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению с помощью критерия c². Определим границы интервалов по формуле , для чего составим таблицу:

 

Найдем теоретические вероятности p_i и теоретические частоты . Результаты расчетов запишем в таблицу

 

 

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона . Для этого составим таблицу, предварительно объединив малочисленные частоты в одну группу:

 

 

=1,39

По уровню значимости  =0,05 и количеству степеней свободы k=n-3=9-3=6 находим  по таблице критических точек: =12,59.

Т.к. <, то по критерию  не оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

Построим на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

 

 

5. Для расчета заменим интервалы объема производства их средними значениями.

Рассчитываем групповые средние

 

а)

x=12,5:

x=17,5:

Аналогично находим остальные групповые средние. Результаты расчетов записываем в таблицу:

 

 

Построим корреляционное поле

 

 

б)

y=205:

y=215:

y=225:

 

Аналогично находим остальные групповые средние. Результаты расчетов записываем в таблицу:

 

 

Построим корреляционное поле

 

 

Для проведения расчетов заполним две вспомогательные таблицы

 

 

 

Найдем параметры, необходимые для расчета коэффициента корреляции и построения уравнений регрессии.

 

                                  

                        

          

Тогда коэффициент корреляции будет равен

Значение r получилось больше нуля, поэтому связь прямая, т.е. с ростом основных фондов x растет объем производства y.

Значение >0,9, поэтому линейная связь очень высокая.

Составляем уравнения регрессии:

а) Y по X:

б) X по Y:

Построим уравнения регрессии на поле корреляции:

 

 

Рассчитаем коэффициент детерминации. В случае парной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции:

R²=r²=0,942²=0,8874,

т.е. регрессия объясняет 88,74% вариации переменных.

 

Построим доверительный интервал для коэффициента корреляции:

При уровне значимости a=0,05 находим, что t_a=1,96.

=1,756-1,96×0,143=1,476; =0,9

=1,756+1,96×0,143=2,036; =0,966

Тогда доверительный интервал для коэффициента корреляции  будет